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清华大学自主招生笔试部分试题 ( 一 )

08岁末，鄙人有幸进京赴清华大学自主招生之考，清华大学自主招生笔试部分试题 ( 一 )。沐09年之第一缕阳光，予赴清华六号教学楼正式参考。彼时，人山人海，虽狡兔亦不得出入于六教大楼。举目四望，所见者皆三省之精英。数理化得全国头奖者不可胜数。置身于彼，诚惶诚恐，自知实力不济，又加清华之盛名于上，自觉力难从心。自京返，深感有愧于山东父老

　　　　 以下是我根据记忆默写的部分题目（自主招生的规矩，片纸不得离场）及部分解答，若有差池，请原谅。但愿对日后有志于自主招生的学弟学妹有所帮助。

　　　　后死诸君多努力，勉乎哉！

　　　　中英文综合：

　　　　英语部分：单选题词汇要求极高，完型、阅读简单。

　　　　语文部分：四篇现代文阅读分别关于白居易的粉丝四年前与 的邂逅城市记忆与历史传统油画的生命力为何强。

　　　　中英文写作：为含有以上四个文本的版面设计一个称谓，并写800字左右的文章陈述之。翻译一下文言文成现代汉语；用英文翻译并评论之。

　　　　小说家者流，盖出于稗官，街谈巷语，道听途说者之所造也。孔子曰：虽小道，必有可观者焉，至远恐泥。是以君子弗为也，然亦弗灭也，吕里小知者之所及，亦使缀而不忘，如或一言可采，此亦刍狂夫之议也

　　　　数学：(^表示指数位置)

　　　　1、(5^0.5+1)/(5^0.5-1)整数部分为A，小数部分为B。求：（1）A、B（2）B+B^2+B^3+＋B^n（比较简单）

　　　　2、求证：（1）当x+y=1，x^2n+y^2n0.5^(2n-1)（我的思路：x^2n+y^2n=2(x^(2n)*y^(2n)),当且仅当x=y＝0.5时等号成立，资料共享平台《清华大学自主招生笔试部分试题 ( 一 )》(https://www.unjs.com)。当x=y，右式等于0.5^(2n-1),证明完毕。）

　　　　 （2）a,b,c0,任意将其排序为x,y,z。求证：a/x+b/y+c/z=3(除了用竞赛上讲的排序不等式，没想到其它做法)

　　　　3、问x^2+2px+2q=0,p、q是奇数时是否有有理数根，证明之。（我的思路：不存在。要证明不存在，只需证delta不是有理数，只需证判别式不是完全平方数。设p^2-2q=a^2,a是整数。则：p^2是奇数，2q是偶数，故a是奇数。P^2-a^2=(p+a)(p-a)＝2p的两个因式均为偶数，推出2p被4整除，与p是奇数矛盾，得证）

　　　　4、椭圆x^2/(a^2)＋y^2/(b^2)=1,过A(-a，0)做l交椭圆与P交y轴于R，过O做l平行于l交椭圆于Q.求证：AP、根二倍OQ、AR成等比数列

　　　　5、写出所有公差是8的三项等差质数列。（我的思路：『3，11，19』证明：公差为8的质数列，故不含偶数。满足质数列，故不被3整除，首项可写作3n＋1或3n+2。当为3n+1，第二项是3n+9，和数，排除；当为3n+2，第三项为3n+18，和数，排除。故3，11，19是唯一满足条件的数列）

　　　　6、sin t＋cos t＝1，z=cos t+i sin t(i是虚数单位)，求z^0+z^1+z^2+z^3++z^n(我的思路：貌似是应用复数的三角形式，好像要讨论)

　　　　7、求证：a1,a2,a3,a4a2n+1各项相等的充要条件是数列『an』满足条件：从中任取2n项，均可分成各含n项的两组使两组各项之和相等（不会，不过不知道假设其不相等，按从大到小的顺序排列之后有没有办法做）

　　　　8、四面体ABCD中，AB=CD,AC=BD,AD=BC，求证：（1）其四个面都是锐角三角形（2）若同一面上三个二面角是a,b,c，cosa+cosb+cosc=1

　　　　9、三位数中任取一数，求：它是5的倍数的概率；它恰有两位数字相等的概率 


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